Kegelstumpf-Volumen in Litern berechnen
Volumen eines Kegelstumpfs mit beiden Innenradien und senkrechter Höhe bestimmen, ohne ihn als Zylinder zu überschätzen.
Was die Berechnung aussagt
Ein Kegelstumpf beschreibt einen runden Behälter mit geraden schrägen Wänden und zwei unterschiedlich großen parallelen Kreisflächen. Benötigt werden der größere Innenradius R, der kleinere Innenradius r und die senkrechte Höhe h, nicht die Mantellinie.
- Bezugsformel
V = π × h ÷ 3 × (R² + R × r + r²)- Einheiten im Überblick
- 1 L = 1.000 cm³ · 1 m³ = 1.000 L
Zuverlässiges Vorgehen
- Prüfen, ob die Querschnitte kreisförmig, die schräge Wand gerade und die Endflächen parallel sind. Bei wechselnder Neigung mehrere Kegelstümpfe bilden.
- Großen und kleinen Innendurchmesser messen und für R und r halbieren. h senkrecht zu den Grundflächen und nicht entlang der Wand messen.
- R, r und h in derselben Einheit in V = πh(R² + Rr + r²)/3 einsetzen.
- Das kubische Ergebnis in Liter umrechnen und gewölbten Boden, Einbauten, Füllgrenze oder bereits belegten Raum separat berücksichtigen.
Praxisbeispiel
Bei 60 cm oberem Innendurchmesser, 36 cm unterem Innendurchmesser und 45 cm Höhe gilt R = 30 cm und r = 18 cm. Das Volumen beträgt 83,13 Liter. Als Zylinder mit 60 cm Durchmesser wären es 127,23 Liter, also 53 % zu viel.
Ergebnis richtig einordnen
Bei gekrümmten Wänden, nicht kreisförmigen Querschnitten, gewölbtem Boden oder deutlich wechselnder Wandstärke bildet die Formel den realen Behälter nicht ausreichend ab.
Ein Zylinder mit dem größeren Durchmesser überschätzt einen verjüngten Behälter immer. Die richtige Formel verbindet beide Endflächen mit dem Mischterm Rr; auch ein Zylinder aus dem gemittelten Durchmesser ist nicht exakt.
Drei Kontrollen der Formel
Gleiche Radien müssen einen Zylinder ergeben, ein kleiner Radius von null einen Kegel. Der echte Kegelstumpf liegt zwischen diesen Grenzfällen.
Bei offenen Behältern oberen und unteren Radius zur Verständlichkeit benennen, obwohl R und r in der Formel symmetrisch sind.
V = πh(R² + Rr + r²) ÷ 3bei R = r: V = πr²hbei r = 0: V = πR²h ÷ 3Liter = cm³ ÷ 1.000
Vergleich bei 45 cm Höhe
Alle Beispiele haben 30 cm großen Radius. Die Tabelle zeigt den starken Einfluss des kleineren Radius.
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| Kleiner Radius | Körper | Volumen |
|---|---|---|
| 0 cm | Kegel | 42,41 L |
| 10 cm | Kegelstumpf | 61,26 L |
| 18 cm | Kegelstumpf | 83,13 L |
| 24 cm | Kegelstumpf | 103,48 L |
| 30 cm | Zylinder | 127,23 L |
Prüfung vor der Verwendung
- Eingesetzt werden Innenradien und nicht Durchmesser.
- Die Höhe ist senkrecht beziehungsweise axial und nicht die Mantellinie.
- Bei R = r stimmt das Ergebnis mit πr²h überein; bei r = 0 mit einem vollständigen Kegel.
- Bei gekrümmter Wand oder ovalem Querschnitt wird das Ergebnis als ideale Näherung gekennzeichnet.
Fragen aus der Praxis
Kann ich Durchmesser direkt einsetzen?
Nur mit einer entsprechend umgeformten Gleichung. Sicherer ist es, beide Durchmesser zu halbieren und R und r wie definiert zu verwenden.
Welche Höhe muss ich messen?
Die senkrechte Entfernung zwischen den Kreisflächen. Die schräge Wandlänge ist die Mantellinie und ersetzt h nicht.
Wie berechne ich zwei verschiedene Wandneigungen?
Den Neigungswechsel markieren, dort den Radius messen und zwei Kegelstümpfe mit ihren jeweiligen Höhen addieren.
Ist das dasselbe wie Substrat im Pflanzkübel?
Die Geometrie kann gleich sein. Für die Substratmenge müssen zusätzlich Drainage, Wurzelballen und Gießrand abgezogen werden.
Quellen und Referenzen
Diese Referenzen stützen die Einheiten, das Verfahren oder die erläuterten Grenzen.
- NIST: SI-Einheiten des Volumens
Metrologische Referenz für Volumen, Liter und Kubikmeter.
Beide Innendurchmesser und die senkrechte Höhe zusammen mit dem Ergebnis speichern. Bei Profilwechseln die getrennt vermessenen Kegelstümpfe addieren.
Lesen Sie, wie Formeln, Beispiele und Aktualisierungen geprüft werden.